The Quadratic Functionals for Linear Time Delay...

W książce przedstawiono zastosowania kwadratowych funkcjonałów Lapunowa do badania stabilności liniowych układów z opóźnieniem oraz w procesie optymalizacji parametrycznej układów regulacji z obiektem liniowym z opóźnieniem i regulatorami PID. Wartość wskaźnika jakości, postaci całka z kwadratu błędu, wyznaczana jest z pewnej własności kwadratowego funkcjonału Lapunowa. Mianowicie wartość funkcjonału dla stanu początkowego układu z opóźnieniem równa jest wartości wskaźnika jakości. Z kolei obszar dodatniej określoności tego funkcjonału, w przestrzeni wyznaczonej przez nastawy regulatora PID, jest obszarem asymptotycznej stabilności układu regulacji z obiektem mającym opóźnienie. W książce zaprezentowano dwie metody wyznaczenia kwadratowego funkcjonału Lapunowa. Pierwsza metoda, która zaproponowana została przez J. Repina, polega na tym, że zostaje założona postać funkcjonału kwadratowego, następnie liczona jest jego pochodna względem czasu wzdłuż trajektorii systemu z opóźnieniem i przyrównywana jest do ujemnie określonej formy kwadratowej. W ten sposób otrzymuje się układ równań algebraiczno różniczkowych, z których są wyznaczane współczynniki funkcjonału. Druga metoda, używana m.in. przez W. Charitonowa, polega na tym, że wyliczana jest całka z kwadratu rozwiązania równania różniczkowego z opóźnieniem wyrażonego przez macierz fundamentalnych rozwiązań dla przedziału czasu od zera do nieskończoności. Całka ta jest równa funkcjonałowi kwadratowemu i wyrażona jest przez odpowiednio zdefiniowaną macierz Lapunowa. Macierz Lapunowa wyznaczana jest z układu równań różniczkowych i algebraicznych.

Opisane metody wyznaczania funkcjonału kwadratowego zostały zaprezentowane dla następujących przypadków:

układ z jednym opóźnieniem skupionym,

układ z dwoma opóźnieniami skupionymi,

układ z opóźnieniem rozłożonym,

układ z opóźnieniem zmiennym w czasie,

układ neutralny z jednym opóźnieniem skupionym,

układ neutralny z opóźnieniem rozłożonym,

układ neutralny z opóźnieniem zmiennym w czasie,

układ neutralny z dwoma opóźnieniami skupionymi.