Czytelnicy poprzednich wydań znajdą tu m.in. uzupełnienia na temat wymiernych trójkątnych płatów Béziera na sferze, wstawiania węzłów za pomocą algorytmu Lane’a–Riesenfelda i obliczania długości krzywych B-sklejanych oraz dokładniejszą analizę własności aproksymacyjnych kubicznych funkcji sklejanych. Klasyczna teoria krzywych i powierzchni Béziera i B-sklejanych, a także opisy stosowanych w grafice komputerowej i w projektowaniu wspomaganym komputerem algorytmów ich przetwarzania zostały uzupełnione wiadomościami na temat powierzchni reprezentowanych przez siatki nieregularne. Znacznie rozbudowane rozdziały na temat ciągłości geometrycznej krzywych i powierzchni zawierają szczegółowy opis krzywych B-sklejanych, własności powierzchni granicznych otrzymanych przez zagęszczanie siatek, nową metodę gładkiego łączenia obciętych powierzchni B-sklejanych i doskonalszą konstrukcję powierzchni wypełniających wielokątne otwory, umożliwiającą przeprowadzanie optymalizacji kształtu takich powierzchni. Wzory i rozważania teoretyczne zostały w tej książce znakomicie zilustrowane na ponad 300 rysunkach.

Opracowanie ma pomóc czytelnikowi dostrzegać w otaczających nas bryłach trzeci wymiar. Zawiera 90 zadań matematycznych, w tym 60 sytuacji geometrycznych oraz 30 zadań obliczeniowych. Wszystkie zadania są w pełni rozwiązane i wytłumaczone.

Ile straci na wadze wykąpana korona? Jak na skórze wołu zmieścić całe miasto i księżniczkę? Czy Euklides byłby dobrym kafelkarzem? Do kogo kwadrat może mówić „wuju”? Czy pierwiastki pomogły Robin Hoodowi zdobywać zamki? Matematyka jest wszędzie. Nawet tam, gdzie się jej najmniej spodziewasz. Ta książka to fascynująca wyprawa do krainy matematyki – wciąż jeszcze nieodkrytego świata liczb, figur i symboli. Dla miłośników matematyki i tych, którzy nie darzą jej sympatią.

W opracowaniu znajdują się wybrane zagadnienia geometrii analitycznej. Do ich wyboru w znacznym stopniu przyczyniły się wieloletnie obserwacje oraz własne doświadczenia autorki. Dużo przedstawionych przykładów dotyczy rachunku wektoro- wego, który jest fundamentalną częścią Geometrii Analitycznej. W opracowaniu poruszono także zagadnienia takie jak: miejsce geometryczne na płaszczyźnie, współrzędne biegunowe oraz korelacje między prostymi oraz płaszczyznami w przestrzeni.

Zeszyty ćwiczeń zawierają taką liczbę zadań, by zapewnić najbardziej efektywną naukę przedmiotu i umożliwić pełną realizację podstawy programowej. Ćwiczenia w wersji A przeznaczone są dla nauczycieli, którzy chcą korzystać ze sprawdzonych metod nauczania na najwyższym poziomie. Zeszyty są dostosowane do zawartości nowego podręcznika.

Zeszyty ćwiczeń Arytmetyka i Geometria przeznaczone są dla nauczycieli, którym zależy na możliwie najwyższym poziomie nauczania przedmiotu, ale nie mogą pozwolić sobie na komfort pracy z trzyzeszytową wersją ćwiczeń (wersją A). Zeszyty są dostosowane do zawartości nowego podręcznika.

Niniejsza książka zawiera kolejny zbiór szkiców poświęconych geometrii w sztuce oraz sztuce geometrycznej. Większość z nich była publikowana wcześniej w postaci artykułów w czasopiśmie Matematyka, czasopismo dla nauczycieli. Każdy z nich został uzupełniony i poprawiony przed oddaniem tej książki do druku. W mojej poprzedniej książce „SZKICE O GEOMETRII I SZTUCE: sztuka konstrukcji geometrycznych” omawiałem konstrukcje geometryczne, które mogą być użyteczne przy tworzeniu sztuki o charakterze geometrycznym. Wiadomości te będą bardzo pomocne zarówno w tym jak i kolejnym zbiorze moich szkiców. W tym tomie zajmiemy się sztuką geometryczną Azji Środkowej, Bliskiego Wschodu i Maghrebu. W zachodniej literaturze współczesnej ten rodzaj sztuki nosi często nazwę ‘islamski ornament geometryczny’. Opowiem, w jaki sposób średniowieczni artyści z tamtych krain projektowali wzory do dekoracji architektury o charakterze religijnym oraz przedmiotów związanych z islamem. Dekoracje te znajdujemy również często na prywatnych czy państwowych budowlach. Opisane tu metody oparte są na badaniach, jakie prowadzili Rosjanie w okresie międzywojennym, oraz po drugiej wojnie światowej, na obszarach Azji Środkowej. Metody te, oparte na teselacjach wielokątami symetrycznymi, zostały opracowane bardzo fragmentarycznie w nielicznych publikacjach z okresu 1947-1961. Są one znacznie prostsze niż te opisywane we współczesnej nam literaturze zachodniej. Co więcej, metody te są autentyczne i opierają się na sposobach stosowanych przez rzemieślników w dawnych czasach, podczas, gdy metody opisywane w publikacjach zachodnich są na ogół tworem współczesnym. W moich tekstach będę starał się pokazać krok po kroku jak powstaje teselacja, na której zbudowany jest ornament, a następnie, w jaki sposób taka teselacja może być wykorzystana do zaprojektowania całej rodziny ornamentów. Liczne przykłady ornamentów geometrycznych zawarte w moich szkicach pochodzą z moich zdjęć wykonanych głównie na Bliskim Wschodzie, Magrebie, Azji Środkowej oraz dwóch zbiorów takowych ornamentów. Są nimi Bourgoin J. (1973) oraz Demiriz Y. (2004). Pierwszy z wymienionych tu zbiorów pokazuje głównie ornamenty z obszaru Egiptu, bez omawiania ich konstrukcji. Zawarte w tym zbiorze ornamenty są na ogół odtworzone w stosunkowo wierny sposób. Drugi zbiór jest kolekcją ornamentów geometrycznych z różnych krajów muzułmańskich i również nie pokazuje żadnych konstrukcji. Rysunki w tym zbiorze są2 |Szkice o Geometrii i Sztuce: geometria w sztuce islamu często bardzo niedokładne i z licznymi błędami. Wartość tego zbioru polega na dużej liczbie pokazanych wzorów oraz na licznych odniesieniach do miejsc, gdzie dany wzór może się znajdować. Będę również wykorzystywał wzory z kilku innych źródeł wymienionych później w tekście i bibliografii do książki. Wszystkie konstrukcje pokazane w tej serii szkiców są wykonane przeze mnie i większość z nich nigdzie dotychczas nie była publikowana, poza czasopismem Matematyka, czasopismo dla nauczycieli. Ilustracje na papierze są statyczne i nie pozwalają na eksperymenty z geometrią. Dlatego pewne z opisywanych tu faktów będą ilustrowane za pomocą dynamicznych modeli, które czytelnik znajdzie na stronach internetowych: majewski.wordpress.com/gsp/ lub symmetrica.wordpresss.com/gsp/.

Książka przeznaczona jest dla architektów i opracowana przez architekta. Podręcznik zawiera podstawowe wiadomości dotyczące procesu widzenia, elementarne dane o metodach rzutowania niezbędne dla opanowania zagadnień związanych z perspektywą oraz omówienie podstawowych elementów i konstrukcji pespektywicznych.

Obserwując otoczenie, dostrzegamy różnorodne kształty. Umiejętności opisywania tych kształtów (dalej zwanych figurami) wymusza zapoznanie się z ich nazwami i przypisanie im pewnych wielkości. Poznaliśmy już na lekcjach geometrii takie figury jak kąt, trójkąt, kwadrat, koło, kulę i wiele innych. Figurom tym ze względów czysto praktycznych przypisujemy takie wielkości jak długość, obwód, pole, objętość. Przy tej okazji kształtujemy takie ważne umiejętności jak obserwowanie i wyciąganie z obserwacji wniosków, a przede wszystkim formułowanie spostrzeżeń i logiczne myślenie. Materiał, który przedstawiamy w tej miniaturce, spełnia w pewnej mierze realizację tych celów. Obecne opracowanie poświęcone jest zagadnieniom związanym z pojęciem pola, a głównie ustalaniu pola figury i często wyznaczaniem relacji między polami pewnych figur. Pragniemy pokazać zastosowanie pola w rozwiązywaniu ciekawych,a niekiedy pozornie trudnych zadań. Chcemy też podać przykłady zastosowania pola w ustaleniu i dowodzeniu własności figur poznanych z nauki szkolnej. Mamy nadzieję, że również forma, w jakiej przedstawione są problemy, zachęcą Was do włączenia się do rozważań zawartych w tych zadaniach.

Na tegoroczny zeszyt miniatur dla liceów złożyły się cztery artykuły. Pobieżne przewertowanie książeczki może sprawić wrażenie, że zbiór został zdominowany przez geometrię: w tytule pierwszej miniatury mamy Pitagorasa i trójkąty, słowo geometria pojawia się aż dwukrotnie w tytule drugiej. Tytuł ostatniej miniatury może nie kojarzyć się z geometrią, ale wystarczy przerzucić kartki, aby zobaczyć wykresy podobne do tych, jakie pojawiają się na lekcjach geometrii. Jednak pierwsze wrażenie jest złudne. W rzeczywistości materiał zawarty w miniaturach okazuje się być bliższy arytmetyce niż geometrii. Miniatura pierwsza jest połączeniem swego rodzaju eseju o Pitagorasie z przedstawieniem trójek pitagorejskich. Geometrycznie rzecz biorąc, szukamy wszystkich trójkątów prostokątnych o bokach całkowitych. Ale zarówno odpowiedź jak i metody służące jej uzasadnieniu są typowo arytmetyczne. W istocie bowiem poszukujemy wszystkich całkowitych rozwiązań równania Pitagorasa x2 + y2 = z2. Miniatura druga traktuje o geometrii kartki w kratkę. Głównym obiektem zainteresowania są tu tzw. wielokąty kratowe, czyli wielokąty, które można tak umieścić na kartce zeszytu w kratkę, aby wierzchołki leżały w punktach przecięcia linii tworzących kratki. Autor stara się przekonać Czytelnika, że stanowią one pomost między arytmetyką i geometrią. Z jednej strony bowiem do ich analizy niezbędne są metody arytmetyczne. Z drugiej strony, przy ich pomocy można pewne fakty czysto arytmetyczne udowodnić geometrycznie. Zauważmy, że trójkąty pitagorejskie z pierwszej miniatury są pewnymi szczególnymi trójkątami kratowymi. Z drugiej strony, równanie Pitagorasa zadaje w przestrzeni pewien stożek i poszukiwanie całkowitych rozwiązań tego równania to w istocie poszukiwanie punktów kratowych na tej powierzchni. Miniatura trzecia przenosi nas w świat algebry. Ucząc się matematyki, z algebrą spotykamy się po raz pierwszy, gdy pewne konkretne, ale na razie nieznane liczby zastępujemy literami. Oswajając się z rachunkiem na „literkach”, zaczynamy rozumieć wzory algebraiczne jako ogólne prawa rządzące rachunkiem na liczbach. Poznając nowe pojęcia, piszemy analogiczne wzory, w których litery mogą zastępować już nie tylko liczby, ale również wektory, funkcje itp. W kolejnym etapie – przynajmniej intuicyjnie – zaczynamy traktować wyrażenia algebraiczne jako samoistne obiekty, na których możemy prowadzić operacje arytmetyczne. Autorka zaprasza Czytelnika do zrobienia następnego kroku, w którym symbolami zostają oznaczone już nie tylko obiekty działań, ale także same działania. Pozwala to dostrzec analogie pomiędzy z pozoru całkiem różnymi „światami” ( na przykład, co łączy dodawanie liczb rzeczywistych i składanie funkcji wzajemnie jednoznacznych). Prowadzi to do abstrakcyjnych struktur algebraicznych (grup, pierścieni i ciał). Pozornie miniatura ta całkowicie wyłamuje się z nurtu geometrycznego, ale w rzeczywistości ma znacznie więcej wspólnego z geometrią, niżby to na pierwszy rzut oka wynikało. Istotnym źródłem idei prowadzących do pojęcia grupy były grupy symetrii obiektów geometrycznych. Kodą zamykającą całość jest zaledwie kilkustronicowa miniatura o twierdzeniu Erdosa i Mordella. Samo twierdzenie jest pięknym i elementarnym rezultatem z geometrii trójkąta i aż dziw bierze, że musiało czekać na swoje odkrycie aż do lat trzydziestych XX wieku. Niespodziewanie miniatura ta wpasowuje się w ciąg opowiadań o związkach arytmetyki i geometrii, lecz tym razem łącznikiem są nie rozważane obiekty matematyczne, lecz ludzie. Z dwóch wymienionych matematyków Paul Erdos jest znacznie lepiej znany i to jemu autorzy poświęcili kilka słów. O związkach autora dowodu, Louisa Mordella, z arytmetyką napomyka zaledwie przypis. Mordell interesował się punktami wymiernymi (czyli punktami o współrzędnych wymiernych) na pewnych specjalnych krzywych zwanych krzywymi eliptycznymi. (Na marginesie, krzywe te wyróżniają się tym, że na ich punktach można w naturalny sposób zadać strukturę grupy . . . ). Pracując nad tym zagadnieniem postawił hipotezę udowodnioną w latach osiemdziesiątych XX w. przez Gerarda Faltingsa, że na dostatecznie ogólnych krzywych liczba punktów wymiernych jest skończona. Z kolei dowód Faltingsa utorował drogę dowodowi wielkiego twierdzenia Fermata, które mówi, że jeśli w równaniu Pitagorasa zamienimy kwadraty wyższymi potęgami, to nowe równanie nie będzie miało innych rozwiązań całkowitych jak oczywiste rozwiązanie zerowe. Ten powrót do Pitagorasa zamyka koło opowieści.

Opracowanie dotyczy metod reprezentacji brył i generowania ich modeli widokowych. W szczególności opisano: deskryptory kształtu, obrazy gaussowskie, modele grafowe aspektowe dla różnych przestrzeni widokowych i różnych rozmieszczeń punktów widokowych w tych przestrzeniach oraz obu rodzajów rzutowań.

Książka Przestrzenie wszechświata miała być kontynuacją Boga i geometrii i w pewnym sensie nią jest – ale tylko w pewnym sensie. Od czasów Newtona (tamta książka kończyła się na Newtonie) historia geometrii nabrała przyspieszenia i potem można ją śledzić już tylko bardzo wybiórczo. Zmienił się także charakter jej oddziaływań z resztą kultury. Gdy przy końcu lektury tej książki (uzupełnionej, być może, wcześniejszą lekturą Boga i geometrii) ogarniamy rozwój geometrii od starożytnych Greków do geometrii nieprzemiennej i syntetycznej geometrii różniczkowej, uderza nas niezwykła skuteczność racjonalnej myśli. Owszem, historia geometrii składa się z powikłanych dziejów ludzi, którzy ją tworzyli – ich wzlotów i dramatów – ale na labirynt ludzkich przygód nakłada się coś, co wyrasta ponad wszystkie ludzkie uwikłania, coś, co jest wprawdzie produktem ludzkich umysłów, ale swoją racjonalnością i systematycznym narastaniem nie jest podobne do niczego, co ludzie kiedykolwiek stworzyli. Grecy i późniejsze czasy aż do nowoczesności łączyły tę racjonalność z Bóstwem, ludzie Oświecenia woleli mówić o Ponadludzkim Rozumie, a my po prostu tę Racjonalność eksploatujemy, nieustannie ją tym samym pomnażając ponad nasze własne ograniczenia. Rzecz w tym, że nasze ludzkie uwikłania, nawyki myślowe i językowe przyzwyczajenia nie mają tu wielkiego znaczenia. Dzieje geometrii i jej zastosowań do badania świata pokazują, że pozostajemy w służbie Czegoś, co nas obejmuje i ponad nas wykracza. Filozoficzne i teologiczne przesłanie całej tej długiej (ale niezakończonej) historii od przed-Euklidesem do po-Einsteinie jest wyraźnie czytelne: badając wszechświat, stawiamy czoła Wielkiej Racjonalności Michał Heller Michał Heller - uczony, kosmolog, filozof i teolog. Laureat Nagrody Templetona i założyciel Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych w Krakowie. Autor m.in. książek Filozofia przypadku (CCPress 2012); Bóg i nauka. Moje dwie drogi do jednego celu (CCPress 2013); Granice nauki (CCPress 2014); Bóg i geometria. Gdy przestrzeń była Bogiem (CCPress 2015).

Niniejszy zbiór zadań z geometrii przestrzennej przeznaczony jest dla uczniów startujących w Olimpiadzie Matematycznej Juniorów, zarówno tych początkujących, jak i bardziej zaawansowanych, także sięgających wzrokiem w kierunku Olimpiady Matematycznej. Polecam go też tym, którzy próbują swoich sił w Olimpiadzie Matematycznej, jednak zadania z Kącików Przestrzennych w Delcie są dla nich zbyt zaawansowane. Zbiór może też okazać się dobrą pomocą dla nauczycieli przygotowujących uczniów do olimpiad. Zadania, które zebrałem, pochodzą z Olimpiady Matematycznej Juniorów lub są zbliżone do nich poziomem. Nie wahałem się jednak dać trochę nieco trudniejszych zadań, które starałem się rozbić na podpunkty lub dać je obok zadań z tego samego tematu żywiąc nadzieję, że nawet mniej zaawansowany uczeń poradzi sobie z nimi. Pozwoliłem sobie także na omówienie niektórych bardziej zaawansowanych zagadnień jak np. równoległościan opisany na czworościanie czy metoda objętości, ilustrując je odpowiednio dobranymi trudnościowo przykładami. Zbiór zawiera ponad 120 zadań. Do każdego z nich jest rozwiązanie (czasem nawet kilkoma sposobami) niemal we wszystkich przypadkach opatrzone rysunkiem. Większość rozdziałów zawiera krótki wstęp wraz z omówionymi przykładami. Michał Kieza

Z recenzji prof. dra hab. inż. Mariana Szczerka: „Książka stanowi pierwsze od ponad pół wieku w kraju tak obszerne ujęcie problematyki przekładni ślimakowych. Stanowi całkowicie nowe ujęcie wiedzy o przekładniach ślimakowych w stosunku do książki Z. Kornbergera z 1978 r. Zaletą książki jest to, że stanowi zwieńczenie dotychczasowych prac dotyczących przekładni ślimakowych wiodącego od wielu dziesięcioleci w kraju ośrodka łódzkiego, mogącego w dodatku korzystać ze wsparcia, również należących do najsilniejszych w kraj, zespołów licznych specjalistów od inżynierii materiałowej czy tribologii. (…) Praca wartościowa i potrzebna. Dotyczy aktualnej problematyki i wykonana na dobrym poziomie merytorycznym.” Książka podzielona jest na 3 główne części: część I zawiera rozważania związane z poszukiwaniem rozkładu obciążenia w zazębieniach ślimakowych. Dotyczą one w dużej mierze przekładni zębatych o zębach prostych i skośnych. Jest to część teoretyczna, opierająca się na teorii płyt; część II dotyczy projektowania przekładni ślimakowych. Omówione są w niej też bariery związane z podanymi zależnościami, a także z uwarunkowaniami eksploatacyjnymi. Stanowi ona wytyczne dla projektantów i konstruktorów przekładni ślimakowych; część III zawiera teorię i praktykę eksploatacji przekładni ślimakowych. Zamieszczono w niej podstawy wiedzy o zjawiskach związanych z powstawaniem i utrzymywaniem się warstwy smarnej (filmu olejowego) w zazębieniu ślimakowym. Podano zasady doboru środków smarnych i ich ilości, a także sposobów smarowania. Książkę kierujemy do studentów wydziałów mechanicznych, inżynierów konstruktorów, eksploatatorów przekładni zębatych, pracowników naukowych i osób zajmujących się napędami.

Nowe wydanie popularnego podręcznika poświęconego klasycznej geometrii różniczkowej, rozszerzone o omówienie całek z funkcji wektorowych oraz o dodatkowy rozdział poświęcony topologii różniczkowej. Książka ta powstała z notatek do wykładów geometrii różniczkowej, prowadzonych przez autorów w ciągu wielu lat na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego. Celem autorów było omówienie geometrii krzywych i powierzchni w sposób zwięzły, ale dokładny, a przy tym odwołujący się do wyobraźni przestrzennej. Pomaga w tym niewątpliwie duża liczba precyzyjnie wykonanych rysunków. Odpowiednio dobrane przykłady i zadania ukazują związki geometrii różniczkowej z innymi dziedzinami: teorią funkcji analitycznych, topologią, mechaniką, kartografią oraz algebrą. Wiele zadań pochodzi z kolokwiów i egzaminów, inne to ulubione zadania Autorów, przerabiane na ćwiczeniach. Zadania te – których jest w sumie niemal dwieście – z pewnością będą przydatne zarówno dla studentów, jak i osób prowadzących zajęcia z tego przedmiotu.

Praca dotyka bardzo ważnej kwestii w edukacji dziecka – kształtowania kompetencji emancypacyjnych i to od najmłodszych lat, autorka podjęła się tego nowatorskiego zadania wśród uczniów wczesnej edukacji, na przykładzie zajęć matematycznych. Jak twierdzi autorka: „Żadne ze gromadzonych w dzieciństwie doświadczeń nie pozostaje bez wpływu na rozwój człowieka. W edukacji człowieka, od jej początku, powinno się uwzględniać to wszystko, co pozwoli obudzić w dziecku dorosłe poczucie odpowiedzialności i gotowości, przygotować je do dorosłego życia”. Praca porusza nowe, dotychczas nierozpowszechniane wątki. Dlatego jest warta polecenia nauczycielom wczesnej edukacji oraz studentom przygotowującym się do wykonywania zawodu nauczyciela.

Ze wstępu do ""Wokół obrotów - przewodnik po geometrii elementarnej""Gdy rozpoczynałem pracę na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego, zaproponowano mi poprowadzenie wykładu z geometrii elementarnej dla studentów matematyki. Stanąłem wówczas przed dylematem, jak taki wykład powinien wyglądać. Miałem świadomość tego, że suchy przegląd konfiguracji geometrycznych lub aksjomatyczne ujęcie podstaw geometrii mogłyby nie dać studentom dostatecznej wprawy w poruszaniu się po zaułkach geometrii elementarnej. Zależało mi na tym, aby wykład z jednej strony porządkował dotychczasową szkolną wiedzę studentów, a z drugiej dostarczał nowych narzędzi pomocnych w rozwiązywaniu geometrycznych problemów.

Geometria Kartezjusza jest arcydziełem literatury matematycznej, które zapoczątkowało nowożytną matematykę. „Mógłbym podać tu kilka innych sposobów rysowania i ujmowania linii krzywych, coraz bardziej złożonych, stopniowo w nieskończoność, ale by zrozumieć razem wszystkie te, które są w naturze, kolejno w pewnych rodzajach, nie znam nic lepszego, jak powiedzieć, że wszystkie punkty tych, które można nazwać geometrycznymi, to znaczy te, które podpadają pod dokładną i ścisłą miarę, z konieczności mają jakiś związek z wszystkimi punktami linii prostej, który można wyrazić pewnym równaniem, tym samym dla wszystkich”. Geometria, Kartezjusz, s. 319

Czym różni się prostokąt od kwadratu? Jakie wspólne cechy mają te figury? Jak wygląda trójkąt, a jak koło? Które zwierzę przypomina kształtem koło, a które prostokąt? Na te i wiele innych pytań pozwoli odpowiedzieć ta publikacja. Skierowana jest dla dzieci w wieku 6-8 lat. Stanowi zbiór ciekawych zadań, dzięki którym dziecko pozna i utrwali znajomość podstawowych figur geometrycznych.

Na początku była niewielka kolorowanka dla Tytusa, mojego wnuka. Potem innym dzieciom w mojej rodzinie spodobał się ten pomysł. Jeszcze pozniej były dyskusje z paroma znajomymi, matematykami, artystami i psychologiem. Tu okazało się, ze kolorowanki geometryczne mogą mieć znacznie większe zastosowanie niż tylko miła rozrywka lub wypełniacz czasu dziecka. Z tych dyskusji narodził się pomysł napisania tej książki. Początkowo była to rzeczywiście tylko kolorowanka geometryczna. Już w trakcie pisania zaczęły powstawać pomysły rozdziałow uzupełniających. Rysunki moich znajomych, dzieci i dorosłych, zwróciły moją uwagę na bardzo istotny temat. Każdy z nas widzi czarno-biały wzór na kartce papieru w inny sposób. Dla jednych są to tylko układy płytek roznego rodzaju na podłodze. Dla innych są to obiekty, ktore podlegają prawom matematycznym i kolorując taki wzór należy przestrzegać praw geometrii tak, aby po kolorowaniu wzór miał te same własności geometryczne, np. symetrie, jak przed kolorowaniem. Wreszcie dla innych wzór geometryczny kryje w sobie niezliczone ukryte motywy. Jedni widzieli w tych wzorach ukryte smoki, inni rybki w stylu Eschera, inni z kolei widzieli kwiaty a jeszcze inni przeplatanki w stylu tych, jakie widzimy w pałacu Alhambry, czy wspaniałej sztuce z Maroka. Warto było zatem pokazać choć odrobinę tego, co ludzie widzą w takich wzorach. W taki sposób powstał rozdział o wzorach z trójkątami i kwadratami. "" -Mirosław Majewski. Ciekawa pozycja dla wszystkich członków rodziny - do smyka, aż do seniora. Kolorowanka geometryczna zainspirowana sztuką. Posiada opisy konstrukcji geometrycznych w języku polskim oraz angielskim. Strony przeznaczone do kolorowania posiadają perforowane brzegi i można je w prosty sposób wyrwać, aby ozdobić nimi wnętrze swojego domu. Gwarantowana dobra zabawa dla całej rodziny.